一、一类半线性双调和方程正整解的存在性及其性质（论文文献综述）
陈浩然[1]（2021）在《非线性椭圆型方程（组）边值问题的可解性》文中提出本文主要利用不动点定理和上、下解方法研究了非线性椭圆型方程和方程组的可解性。绪言部分主要是对偏微分方程的发展历史和背景,以及本篇论文中所用到的方法等进行了介绍。第一章研究了带小参数λ的双调和方程边值问题（?）（1.1）的可解性。这里Ω（?）Rn是一个有界光滑洞型区域,其中内边界为Γ2,外边界为Γ1。且（?）YΓ2,b>0为常数,λ为正参数。本文利用变量代换在问题（1.1）中,令-Δu=v,将问题（1.1）转换成椭圆型方程组边值问题（?）（1.2）然后利用上、下解方法以及不动点定理证明了上述问题解的存在性,并讨论了解的唯一性。第二章考察半线性椭圆型方程组（?）（2.1）这里 c（x）,d（x）是 Ω 上连续正函数,c（x）>0,d（x）>0,α,β∈（1,+∞）是常数。本文利用不动点定理对问题（2.1）解的存在性进行了研究,最后利用Green恒等式以及调和函数极值原理证明其唯一性。第三章考察有界洞型区域上的半线性椭圆型方程边界值问题#12这里常数k>1,Ω（?）Rn是一个有界洞型光滑区域,其中内边界为Γ2,外边界为Γ1,且λ1、λ2为正参数,b>0为常数,（?）。本文利用上、下解方法证明了该问题解的存在性,最后再考虑一种特殊情况,也就是当λ2为常数时,证明了解的存在性。
王花[2]（2019）在《几类半线性椭圆型方程（组）可解性研究》文中研究说明文章首先简单介绍了偏微分方程的起源及发展过程,以及自己研究生阶段所学习的一些课程.主要研究了有界洞型区域内双调和方程边值问题的可解性以及半线性椭圆型方程组的可解性.证明了双调和方程边值问题正解的存在性与唯一性,同时对解的不存在情形进行了探索,并对半线性椭圆型方程组边值问题给出了正解的存在性及其唯一性证明.论文中主要运用的方法有不动点定理,Green恒等式,最大值原理等.
冯廷福[3]（2018）在《各向异性Laplace算子的恒等式和不等式及其应用》文中指出随着科学技术的进步,各向异性椭圆方程作为刻画流体在介质中沿着不同方向传导的动力学模型正受到越来越多的关注.本文研究了各向异性Laplace算子的恒等式和不等式,并且给出了这些恒等式和不等式的应用.具体研究所得结果如下所述.一、分别针对有界光滑区域和全空间上的各向异性椭圆问题,建立了它们的解所满足的各向异性Pohozaev恒等式,并利用这些各向异性Pohozaev恒等式来证明非平凡解的不存在性.二、建立了各向异性Laplace算子的各向异性Picone恒等式,利用它获得了各向异性椭圆方程的Sturmian比较原理和各向异性Hardy不等式.还建立了拟-p-Laplace算子的非线性Picone恒等式,得到了奇异拟-p-Laplace方程组的Liouville定理,拟-p-Laplace方程的Sturmian比较原理,新的且带权和余项的Hardy不等式以及拟-p-Laplace方程不存在正的上解.三、在方体上建立了齐次各向异性椭圆问题弱解所满足的一个各向异性Caccioppoli不等式,它可以被视为一个反向各向异性Poincar′e不等式.结合各向异性Sobolev不等式和带权各向异性Sobolev不等式建立了对数各向异性Sobolev不等式和对数带权各向异性Sobolev不等式.四、研究了带权各向异性积分泛函,利用带权各向异性Sobolev不等式和迭代引理证明了当边值有更高的可积性时,可使带权各向异性积分泛函的极小元也有更高的可积性.而且还获得了极小元具有指数形式和L∞（?）形式的有界性.此外对带权各向异性积分泛函的障碍问题,也获得相类似的结果.五、对一个各向异性椭圆问题,利用变分法证明了非平凡弱解的存在性,还利用各向异性Poincar′e不等式证明了非平凡弱解的不存在性.
许兴业[4]（2017）在《一类奇异非线性多重调和方程存在正整解的充分必要条件》文中提出研究一类奇异非线性多重调和方程?mu=f（|x|,u,|▽u|）u-β,给出了方程存在正的径向对称整体解的充分必要条件和解的性质.
欧笑杭[5]（2017）在《关于非线性方程div(|Du|p-2Du)=f（|x|,u,|▽u|）的正整解》文中研究表明以Schauder-Tychonoff不动点定理为工具,研究一类形如div(|Du|p-2Du)=f（|x|,u,|▽u|）的非线性椭圆型方程存在正整解问题,建立了两个存在正整解及性质的定理.
许兴业[6]（2016）在《关于半线性方程div(|Du|p-2Du)=f（|x|,u）的有界正整解》文中指出研究形如div(|Du|p-2Du)=f（|x|,u）的半线性椭圆型方程的有界正整解问题,建立了2个有界正整解的存在性定理.
晏华辉[7]（2014）在《退化椭圆方程解的研究》文中研究表明本文主要研究一类涉及p-拉普拉斯算子非线性椭圆偏微分方程在全空间的鞍形解.我们通过应用上下解方法、单调迭代方法等,得到了这类椭圆方程在偶数维空间R2m（2m≥p>2）鞍形解的存在性结果.并且研究了最大鞍形解与最小鞍形解的存在性问题,得到了在所有鞍形解中必定存在最大与最小鞍形解,即所谓的准最大与准最小鞍形解.进一步我们应用单调迭代方法得到了严格意义上的最大鞍形解,即在所有在Simons锥C上等于零而且具有与表达式s-t相同符号的有界弱解（不一定是鞍形解）中必定存在所谓的最大鞍形解.我们通过对双稳扩散方程鞍形解的二阶偏导应用一个极值原理,得到了这类方程鞍形解的凸性结果.然后利用所得到的鞍形解的凸性结果,结合鞍形解的性质建立了二维空间情形鞍形解的水平集的单调性与凸性结果.最后我们证明了一类具有线性的加权的Neumann边界条件的退化椭圆问题非常弱解的存在唯一性.第一章,我们简单介绍了所研究问题的背景及本文的主要结果.交代了文中需要用到的一些概念与基本定理等预备知识,包括全文结构的简单安排介绍.第二章,我们考虑一类涉及p-拉普拉斯算子非线性椭圆方程在全空间的鞍形解一△pu=f（u）, x∈R2m.我们应用上下解方法得到了这方程在更多偶数维空间R2m（2m≥p>2）鞍形解（[39]中已经得到在偶数维空间R2m（2m≥2p>4）鞍形解的存在性）的存在性.其中我们需要引入所研究问题在某个区域Ω（有界或无界）内的有界弱解为半稳定的概念.然后我们得到了准最大与准最小鞍形解的存在性,即证明了所研究问题的所有鞍形解中必定存在最大与最小鞍形解.其中关键的地方是需要证明在某个区域内正解的半稳定性性质,以及找到合适的上下解,并且说明所得解必为非平凡解（即非常数解）.其中我们用到了所研究问题对应的ODE方程的解是该问题在Simons锥内的上解这一事实.第三章,我们应用单调迭代方法,首先定义uR,0,然后说明所得到的解序列{uR,k}单调有界等事实,再说明它们的极限就是我们所要找的解.总之我们得到了原方程的最大鞍形解,即在所有在Simons锥C上等于零而且具有与表达式s-t相同符号的有界弱解（不一定是鞍形解）中必定存在所谓的最大鞍形解.第四章,我们通过对鞍形解的二阶偏导utt应用一个极值原理,得到了双稳扩散方程一△u（x）=f（u（x））, x∈R23,鞍形解的部分凸性,即得到二阶偏导utt在H={s>t}中的符号保持不变的性质,从而得到uss在{t>s}中也保持符号不变.利用二阶偏导utt在H={s>t}中的符号不变的性质,结合鞍形解的性质建立了二维空间情形鞍形解的水平集的单调性与水平集跟坐标轴交点处的凸性结果.第五章,我们得到了具有线性的加权的Neumann边界条件退化椭圆问题非常弱解的存在唯一性结果与一个估计式.其中α∈（-1,1）,且
廖敏[8]（2014）在《各向异性椭圆方程弱解的性质研究》文中进行了进一步梳理在偏微分方程的理论研究中,椭圆方程占据着十分重要的地位。椭圆方程在数学（微分几何、拟正则映照等）、物理工程（流体力学等）和生物学（种群稳定性等）等方面有着广泛的应用背景。椭圆方程各种问题解的存在性、唯一性、稳定性和正则性等是椭圆方程理论研究的重要组成部分。本文主要讨论各向异性的椭圆方程弱解的局部正则性及其障碍问题弱解的局部正则性和稳定性。第一章绪论部分介绍了椭圆方程的研究背景以及国内外研究现状,人们的研究从各向同性椭圆方程发展到各向异性椭圆方程,从方程的古典解发展到弱解再到很弱解,进而逐步研究解的性质。针对各向异性椭圆方程弱解的研究,本文提出了需要解决的问题和主要研究方法,并给出了一些尚待研究的问题。第二章主要研究了一类非线性椭圆方程-divA（x,Du）=B（x,u,Du）的Kψ,θ（pi）-障碍问题弱解的局部正则性。通过构造适合于各向异性情形的检验函数,并利用Sobolev不等式、Holder不等式以及Young不等式,得到了各向异性椭圆方程障碍问题弱解的局部正则性。第三章分为两个部分。一部分研究各向异性的A-调和方程障碍问题弱解关于障碍的稳定性。主要利用各向异性的Sobolev嵌入定理以及一些基本不等式,得到了各向异性的A-调和方程障碍问题弱解的唯一性和弱解关于障碍的稳定性。另一部分研究各向异性A-调和方程障碍问题弱解的拟最小化性质,为后续更好地研究各向异性椭圆方程的弱解奠定基础。第四章研究各向异性A-调和方程弱解的局部正则性。主要通过构造各向异性的检验函数,利用各向异性Sobolev嵌入定理以及相关引理,得到了弱解的正则性结果。
张金国[9]（2013）在《关于非线性椭圆型方程多重正解的研究》文中研究说明本文主要研究了含非线性边界条件的半线性椭圆型方程,含变号权的双调和方程以及非线性Schrodinger-Poisson系统的多个正解的存在性问题.本文共分四章.在第一章中,我们简要叙述了本文所研究问题的相关背景知识以及发展现状,并介绍了本文的主要工作.在第二章中,我们考虑了含非线性边界条件的半线性椭圆型方程正解的存在性和多重性,其中Ω是RN（N>3）中的光滑有界区域,v是单位外法向量,参数λ>0.应用Nehari流形方法和集中紧性原理,分别证得了q,p满足1<g<2<p<2*；p=2*,1<q<2;q=2b*,2<p<2b*；q=2b*,p=2*；q=2,1<p<2这五种情形时方程（1.1）至少存在两个正解,其中2*=2N/N-2,2b*=2（N-1）/N-2.我们的结果推广了文[20]中的结果.在第三章中,我们应用Nehari流形方法证明了下述含变号权的四阶椭圆型方程至少存在两个正解.其中Ω是RN（N≥5）中的光滑有界区域,参数λ>0,1<q<2<p≤2*,函数a,b：Ω→R在区域Ω中是变号的.我们将文献[87]中的结果从a（x）=b（x）三1为常数函数推广到变号函数,并且改进了文献[8]中的结果.在第四章中,我们主要研究了下述非线性Schrodinger-Poisson系统其中函数fλ（x）=a（x）+λb（x）,参数λ>0,p∈（3,5）.应用Ijusternik-Schnirlman畴数原理和能量比较方法,我们证明了在函数K,a.b满足某些给定的假设条件下,Schodinger-Poisson系统正解的存在性和多重性,推广了文献[26]中的结果.
许兴业[10]（2012）在《一类拟线性椭圆型方程正整解的存在性》文中研究表明以Schauder-Tychonoff不动点定理为工具,应用上解、下解的方法,研究一类拟线性椭圆型方程div（|Du|p-2 Du）=f（x,u,Du）正整解的存在性.
二、一类半线性双调和方程正整解的存在性及其性质（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、一类半线性双调和方程正整解的存在性及其性质（论文提纲范文）
（1）非线性椭圆型方程（组）边值问题的可解性（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 绪言 |
| 第一章 一类带小参数的双调和方程边值问题的可解性 |
| 1.1 引言 |
| 1.2 解的存在性 |
| 1.3 解的唯一性 |
| 第二章 半线性椭圆型方程组边值问题的可解性 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 解的存在性 |
| 2.3 解的唯一性 |
| 第三章 有界洞型区域上一类半线性椭圆型方程的可解性 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 解的存在性 |
| 3.3 特殊情况下解的存在性 |
| 参考文献 |
| 作者简介 |
| 附录:读研期间的科研情况 |
| 致谢 |
（2）几类半线性椭圆型方程（组）可解性研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 绪论 |
| 第一节 偏微分方程发展史 |
| 第二节 泛函分析 |
| 第三节 变分法 |
| 第四节 索伯列夫空间 |
| 第五节 论文的章节安排 |
| 第二章 有界洞型区域内双调和方程边值问题的可解性 |
| 第一节 概述 |
| 第二节 解的存在性 |
| 第三节 解的唯一性探讨 |
| 第四节 解的不存在性研究 |
| 第三章 半线性椭圆型方程组正解的研究 |
| 第一节 概述 |
| 第二节 解的存在性 |
| 第三节 解的唯一性 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 附录：读研期间的科研情况 |
（3）各向异性Laplace算子的恒等式和不等式及其应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 研究进展 |
| 1.3 研究内容 |
| 1.4 本文的创新点 |
| 第二章 各向异性Pohozaev恒等式及其应用 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 有界光滑区域??R~n上各向异性Pohozaev恒等式及其应用 |
| 2.3 全空间R~n上的各向异性Pohozaev恒等式及其应用 |
| 第三章 各向异性Picone恒等式和非线性Picone恒等式及其应用 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 各向异性Picone恒等式和各向异性Hardy不等式及其应用 |
| 3.3 拟-p-Laplace算子的非线性Picone恒等式及其应用 |
| 第四章 各向异性Caccioppoli不等式和对数各向异性Sobolev不等式 |
| 4.1 各向异性Caccioppoli不等式 |
| 4.2 对数各向异性Sobolev不等式 |
| 第五章 带权各向异性积分泛函的极小元的可积性和有界性 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 预备知识和主要结果 |
| 5.3 极小元的可积性和有界性的证明 |
| 第六章 各向异性椭圆问题非平凡弱解的存在性和不存在性 |
| 6.1 引言和主要结果 |
| 6.2 非平凡弱解存在性的证明 |
| 6.3 非平凡弱解不存在性的证明 |
| 第七章 总结和展望 |
| 7.1 全文总结 |
| 7.2 有待进一步研究问题 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间完成的学术论文和课题来源105 |
| 致谢 |
（5）关于非线性方程div(|Du|p-2Du)=f（|x|,u,|▽u|）的正整解（论文提纲范文）
| 0 引言 |
| 1 主要结果 |
| 3 例子 |
（7）退化椭圆方程解的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 问题的背景 |
| 1.1.1 引言 |
| 1.1.2 双稳扩散方程鞍形解的存在唯一性、稳定性结果 |
| 1.1.3 p－拉普拉斯方程与p－拉普拉斯算子的基本概念及性质 |
| 1.2 本文主要结果 |
| 2)鞍形解的存在性结果'>1.2.1 涉及p－拉普拉斯算子非线性椭圆方程在更高维空间R~(2m)(2m ≥ p > 2)鞍形解的存在性结果 |
| 1.2.2 最大鞍形解的存在性结果 |
| 1.2.3 双稳扩散方程鞍形解的凸性 |
| 1.2.4 非常弱解的存在唯一性 |
| 1.3 预备知识 |
| 1.4 创新点及结构安排 |
| 2) 内鞍形解的存在性及准最大、准最小鞍形解的存在性'>第2章 涉及p－拉普拉斯算子非线性椭圆方程在更多偶数维空间R~(2m)(2m ≥ p > 2) 内鞍形解的存在性及准最大、准最小鞍形解的存在性 |
| 2.1 引言及主要结果 |
| 2.2 一些必要准备的引理及性质 |
| 2)内鞍形解存在性结果的证明'>2.3 在更多偶数维空间R~(2m)(2m ≥ p > 2)内鞍形解存在性结果的证明 |
| 2.4 准最大与准最小鞍形解存在性的证明 |
| 第3章 涉及p－拉普拉斯算子非线性椭圆方程最大鞍形解的存在性 |
| 3.1 主要结果 |
| 3.2 一些必要准备的引理及性质 |
| 3.3 最大鞍形解存在性结果的证明 |
| 第4章 双稳扩散方程鞍形解的凸性 |
| 4.1 主要结果 |
| 4.2 鞍形解的凸性结果的证明 |
| 4.3 鞍形解的水平集的单调性与凸性的证明 |
| 第5章 退化线性椭圆方程非常弱解的存在唯一性 |
| 5.1 问题背景和主要结果 |
| 5.2 非常弱解的存在唯一性的证明 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 附录A (攻读学位期间所发表的学术论文目录) |
（8）各向异性椭圆方程弱解的性质研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 1 绪论 |
| 2 各向异性椭圆方程障碍问题弱解的局部正则性 |
| 2.1 引言和主要结果 |
| 2.2 辅助引理 |
| 2.3 主要结果的证明 |
| 3 各向异性椭圆方程障碍问题弱解关于障碍的稳定性 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 弱解的唯一性 |
| 3.3 弱解的稳定性 |
| 3.4 拟最小化性质 |
| 4 各向异性A 调和方程弱解的局部正则性 |
| 4.1 预备知识 |
| 4.2 主要结果 |
| 4.3 定理的证明 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 附录 |
（9）关于非线性椭圆型方程多重正解的研究（论文提纲范文）
| 本文的创新点 |
| 摘要 |
| Abstract |
| 目录 |
| 第一章 引言 |
| 1.1 变分法理论背景及研究进展 |
| 1.2 半线性椭圆型方程的研究 |
| 1.3 四阶椭圆型方程的研究 |
| 1.4 Schrodinger-Poisson系统的研究 |
| 1.5 本文的主要工作 |
| 第二章 含非线性边界条件的半线性椭圆型方程正解的存在性和多重性 |
| 2.1 引言和主要结果 |
| 2.2 凹凸非线性项情形 |
| 2.3 临界指数增长情形 |
| 2.3.3 p,q满足q=2_b~*：=(2(N-1))/(N-2),p=2~*：=(2N)/(N-2) |
| 2.4 分歧情形 |
| 第三章 含变号权的四阶椭圆型方程正解的存在性和多解性 |
| 3.1 研究背景与主要结果 |
| 3.2 Nchari流形和纤维映射的分析 |
| 3.3 定理3.1.1的证明 |
| 3.4 定理3.1.2的证明 |
| 第四章 非线性Schrodinger-Poisson系统正解的存在性和多重性 |
| 4.1 引言与主要结果 |
| 4.2 Poisson方程的解及其性质 |
| 4.3 定理4.1.1的证明 |
| 4.3.1 定理4.1.1(ⅰ)的证明 |
| 4.3.2 定理4.1.1(ⅱ)的证明 |
| 参考文献 |
| 发表的论文目录 |
| 致谢 |
四、一类半线性双调和方程正整解的存在性及其性质（论文参考文献）
- [1]非线性椭圆型方程（组）边值问题的可解性[D]. 陈浩然. 安庆师范大学, 2021(12)
- [2]几类半线性椭圆型方程（组）可解性研究[D]. 王花. 安庆师范大学, 2019(01)
- [3]各向异性Laplace算子的恒等式和不等式及其应用[D]. 冯廷福. 西北工业大学, 2018
- [4]一类奇异非线性多重调和方程存在正整解的充分必要条件[J]. 许兴业. 高校应用数学学报A辑, 2017(04)
- [5]关于非线性方程div(|Du|p-2Du)=f（|x|,u,|▽u|）的正整解[J]. 欧笑杭. 广东第二师范学院学报, 2017(03)
- [6]关于半线性方程div(|Du|p-2Du)=f（|x|,u）的有界正整解[J]. 许兴业. 广东第二师范学院学报, 2016(03)
- [7]退化椭圆方程解的研究[D]. 晏华辉. 湖南大学, 2014(09)
- [8]各向异性椭圆方程弱解的性质研究[D]. 廖敏. 杭州电子科技大学, 2014(12)
- [9]关于非线性椭圆型方程多重正解的研究[D]. 张金国. 武汉大学, 2013(10)
- [10]一类拟线性椭圆型方程正整解的存在性[J]. 许兴业. 广东第二师范学院学报, 2012(05)