一、变分不等方程解的存在性（论文文献综述）
张德金[1]（2021）在《Ky Fan不等式及其相关问题解的存在性与稳定性研究》文中研究表明本文主要运用集值分析方法对Ky Fan不等式及几类相关问题的解集的稳定性进行研究.主要包括Ky Fan截口问题解集的强稳定性、Ky Fan点集与向量值Ky Fan点集的强稳定性分析,n非合作博弈和多目标博弈的平衡点集的强稳定性分析,并对向量值拟变分不等式问题和一类经典随机控制问题的解集的通有稳定性等进行分析.全文共分六章,具体内容包括:第一章,主要介绍了Ky Fan不等式及其相关问题的研究背景、研究现状与研究意义,本质连通区与通有稳定性的研究现状,以及随机控制问题的研究现状与研究意义.最后简要阐述了本文的主要研究内容、创新点以及研究的基本框架.第二章,主要介绍本文将要使用的一些基本概念、性质以及重要的相关结论,其中主要包括Hausdorff距离的概念及其相关性质、集值映射的连续性、向量值函数的连续性与凸性、随机过程、随机微分方程的解等基本概念及其相关性质.第三章,主要研究了Ky Fan截口问题解的强本质集和强本质连通区的存在性、Ky Fan点集与向量值Ky Fan点集的强本质连通区的存在性,并导出了对应的n人非合作博弈Nash平衡点集与多目标博弈的弱Pareto-Nash平衡点集的强稳定性结果.首先,在Ky Fan截口问题模型中运用集合之间的Hausdorff上半度量定义一种新的更强的扰动,基于这一扰动下,对Ky Fan截口问题引入强本质集和强本质连通区的概念,并证明了Ky Fan截口问题解的强本质集与强本质连通区的存在性.其次,在Ky Fan不等式与向量值Ky Fan不等式问题模型中,基于Ky Fan点和向量值Ky Fan点都与Ky Fan截口问题的解之间具有的某种等价性,于是通过把Ky Fan点问题和向量值Ky Fan点问题都转换成某种Ky Fan截口问题,运用集合之间的Hausdorff上半度量分别定义几类新的更强的扰动,使其既能够统一处理通常的分别基于不等式函数的一致度量和截口映射最大模度量所定义的扰动,又包含了集合变化的扰动情形,更重要的是这些强扰动还打破了常见两种扰动的对称性结构,仅需考虑包含关系既可,这扩展了扰动的方式与适用范围.基于这些强扰动下,对Ky Fan不等式问题与向量值Ky Fan不等式问题分别引入了强本质集和强本质连通区的概念,并证明了Ky Fan点集与向量值Ky Fan点集的强本质连通区的存在性.最后,作为应用,结合博弈Nash平衡与Ky Fan点之间具有的某种等价性,对n人非合作博弈与多目标博弈问题分别定义了一种同时涵盖支付函数扰动与策略集扰动的强扰动,提供了一种处理由局中人策略选择的不确定性产生的策略集扰动下的稳定性分析方法,并分别导出了n人非合作博弈Nash平衡点集与多目标博弈弱Pareto-Nash平衡点集的强本质连通区的存在性.第四章,运用通有性质的研究方法对向量值拟变分不等式问题的解集的通有稳定性进行研究.首先通过约束映射在图像拓扑意义下的图像度量,在向量值拟变分不等式问题模型中引入一种比通常一致度量更弱的新度量ρH.然后提出了向量值拟变分不等式问题关于新度量ρH是本质的定义,并证明了向量值拟变分不等式问题解集的通有稳定性结论.结论表明,在Baire分类的意义下,大多数的向量值拟变分不等式问题关于度量ρH都是本质的.第五章,研究了一类经典的随机控制问题的解（也称最优控制）的存在性和通有稳定性.首先,把Lp-空间中的Riesz-Kolmogorov紧性定理推广到随机情形,得到了一类随机过程空间LFp（[s,T];Rk）中子集的相对紧性的一个判别方法,并在一定假设条件下证明了容许控制集合u[s,T]的紧性.其次,研究了受控系统方程的解关于参数的连续依赖性,主要包含了解对初始参数、控制参数和系统系数等参数的连续依赖性,其中解关于系统系数b和σ的连续依赖性是较新的.再次,借鉴非线性分析的方法研究了一类经典的随机控制问题的最优控制的存在性,在容许控制集合无凸性假设与扩散系数σ无正定性假设条件下得到了随机控制问题的最优控制的一个存在性结果.最后,在随机控制问题中引入了本质解的概念,证明了在所构造随机控制问题模型中,在Baire分类的意义上,大多数的随机控制问题都是本质的这一通有稳定性结果.第六章,简要总结本文的研究内容,并展望了今后的一些研究方向.
柳彦军[2]（2021）在《指数非线性问题的爆破分析与紧性研究》文中进行了进一步梳理近年来,来自于微分几何、数学物理等领域中的指数非线性问题越来越受到关注,本文主要考虑指数非线性问题的爆破分析与紧性分析,结合最佳几何不等式,对相关问题进行深入研究.首先,我们利用凸重排技巧以及水平集估计,建立涉及N-Finsler-Laplacian算子和Lp范数扰动的最佳Trudinger–Moser不等式.此外,我们还通过爆破分析和容度技巧得到极值函数的存在性.其次,我们考虑带边黎曼面上的预定曲率方程.利用刘维尔方程的爆破分析方法,结合Trudinger–Moser不等式,证明对应平均场方程的能量泛函有明确的下界,在此基础上,我们给出预定曲率方程解存在的一个充分条件.然后,我们建立有界区域中涉及N-Finsler-Laplacian算子的奇异Trudinger–Moser不等式的Lions型集中紧性原理.此外,我们还得到整个欧氏空间RN上相应的集中紧性原理.接着,我们考虑带有临界指数增长和奇异项的非线性薛定谔方程.利用极大极小方法和集中分析,结合一些精细的估计,证明基态解的存在性.对于扰动问题,得到了两个不同的非平凡弱解.最后,假设（M,g）是一个完备的非紧N维负曲率黎曼流形,N≥2,我们得到奇异Trudinger–Moser不等式的集中紧性原理.作为一个重要的应用,我们证明一类椭圆问题在完备非紧黎曼流形上的基态解的存在性,我们还得到扰动问题的非平凡弱解.
李渊[3]（2021）在《L2临界的非局部Schr?dinger方程解的性质研究》文中研究表明这篇博士学位论文研究如下形式的非局部Schr?dinger方程其中A是一个微分算子,G（u）是非线性项,（t,x）∈R×RN,且N≥ 1.我们研究了两类非局部Schrodinger方程,主要结果如下:1.当算子（?）,且非线性项G（u）=-（|u|2/N u+κ|u|pu）时,对应的方程是半波方程i（?）tu + Du + u2/Nu + kuρu = 0,该方程是分数阶Schrodinger方程的一个特殊情形,也对应着半-相对论型Schrodinger方程中质量为零的退化情形.通常,称i（?）t+D为半波算子.对该方程,我们分别考虑了 1)κ=0的情形:令Q是方程DQ+Q=|Q|2/NQ的唯一的径向对称的正基态解.当N=2时,我们证明了径向基态质量爆破解的存在性,且证明了方程的解u满足‖u‖2=‖Q‖2（基态质量守恒）和E（u）=E（u0）（能量守恒）,同时,我们也证明了当t → 0-时,解的爆破速率为‖D1/2u（t）‖L2～C（u0）/|t|.当N=3时,我们证明了类似于N=2时的径向基态质量爆破解的存在性以及爆破速率.2)κ=1的情形:令Qv是方程的解.（?）-Δuv+i（v（?））uv-uv2/Nuv=-uv假设0<p<2/N且N ≥ 2.当初值满足‖u0‖2<‖Qv‖2时,我们得到了形如u（t,x）=eitμΨv（x-vt）的行波解的存在性,其中0<|v|<1.此外,当N=2,3,4时,我们证明了得到的行波解是轨道稳定的.2.当算子A=-Δ,且非线性项G（u）=V（x）u-a（1/|x|γ*|u|2）u为非局部的非线性项时,这种方程称为具有Hartree型非线性项的Schrodinger方程,或Hartree方程,其中a1/|x|γ*|u|2)u为Hartree项,在非相对论量子力学中描述粒子之间的某些长程相互作用.令Q是方程-Δu+u-（1/|x|2*|u|2）u=0的径向对称的正基态解,当N ≥ 3且a>a*=‖Q‖L22时,我们应用限制变分方法以及能量估计刻画了当γ↗2（其中2是L2临界指标）时,方程形如u（x）eiλt的驻波解的集中现象.
李奇[4]（2021）在《几类含临界指标的非线性偏微分方程解的存在性与多解性》文中提出本文主要研究几类含临界指标的非线性偏微分方程解的存在性与多解性.本文共分为五章:在第一章中,我们将对本文研究问题的背景和国内外研究现状做概述,并简要介绍本文的主要工作,相关的预备知识以及一些常用的记号.在第二章中,我们研究了下列含Kirchhoff算子的Choquard方程其中 a ≥ 0,b>0,α∈（0,N）,2α*＝N+α/N-2是关于 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式的临界指标以及V（x）∈LN/2（RN）是一个非负函数.利用经典的环绕定理和全局紧性定理,我们证明了方程至少存在一个束缚态解,如果‖V‖LN/2足够小.更多的,我们的结果揭示了 Kirchhoff问题的一个新特点,也即是参数a可以为零.在第三章中,我们研究了奇异扰动的Choquard方程ε2s（-Δ）su+V（x）u=（Iα*|u|2α,s*）|u|2α,s*-2u,u∈Ds,2（RN）,其中 s ∈（0,1）,N≥ 3,ε 是一个正的参数,2α,s*=N+α/N-2s是关于 Hardy-Littlewood-Sobolev不等式的临界指标.V（x）∈LN/2s（RN）并且V（x）在RN中的某些区域上为零,这意味着此问题是临界频情形，利用分数Sobolev空间中的全局紧性结果与Lusternik-Schnirelman理论,我们证明了方程存在多重束缚态解.在第四章中,我们研究了下列含临界增长的分数Schrodinger方程（-△）su+V（x）u=|u|2s*-2u,x∈RN,其中 s ∈（0,1）,N>4s,（-△）s是分数 Laplacian 算子,位势函数 V（x）:RN→R,2s*=2N/N-2s是分数临界Sobolev指标.利用重心映射,形变引理以及Brouwer度理论,我们证明了高能正解的存在性与多解性.我们的结果推广和改进了 Correia和Figueiredo（Calc.Var.Partial Differential Equations,58:63,（2019））最近关于分数Schrodinger方程高能解存在性的工作.在第五章中,我们研究了奇异扰动的p-Laplacian方程-εp△pu+V（x）|u|p-2u=|u|p*-2u,u∈D1,p（RN）.其中 1<p<N,p-Laplacian 算子 Δp:=div（|▽u|p-2▽u）,p*=Np/（N-p），ε是一个正参数,V（x）∈LN/p（RN）并且V（x）在RN中的某些区域上为零,也即是说它是一个消失位势.利用Lusternik-Schnirelman理论,我们证明了正解的存在性与多重性.这个结果推广了 Chabrowski 和 Yang（Port.Math.57（2000）,273-284）关于半线性Schrodinger方程的结果.
余胜斌[5]（2020）在《R3上奇异椭圆方程解的存在性及渐近性》文中提出本文研究R3上奇异椭圆方程解的存在性和渐近性,主要工作分为以下五个部分:1.研究如下具有弱奇异项的Choquard方程解的相关问题:其中1+α/3≤p<3+α,0<γ<1,Ia（0<α<3）为Riesz位势函数.在函数V（x）和f（x）满足一定的假设条件下,本文第一章证得方程（Pλ）在λ>0下有唯一正解uλ,且当λ→0+时,该唯一解uλ会趋近于方程（P0）的唯一正解;第二章证得方程（Pλ）在λ<0下至少有两个解:一个正基态解uλ（1）和一个正解uλ（2）,且当λ →0-时,这两个解具有如下收敛性:uλ（2）发散而uλ（1）趋近于方程（P0）的唯一正解.2.研究如下具有弱奇异项的临界Choquard方程解的相关问题:其中 1+α/3 ＜p<3,0<γ<1,λ>0,Iα（0 ＜α<3）为 Riesz位势函数.在函数V（x）和f（x）满足一定的假设条件下,本文第三章证得方程（CPA）至少有两个解:一个正基态解uλ和一个正解vλ,且当λ→0+时,这些解具有如下收敛性:uλ会趋近于方程（CP0）的基态解而vλ会趋近于方程（CP0）的正解.3.研究如下具有弱奇异项的临界椭圆方程解的相关问题:其中0<γ<1,λ>0,Q（x）＞ 0.当函数f（x）满足一定的假设条件而函数Q（x）在k个不同点a1,a2,…,ak处取到相同的最大值QM时,本文第四章证得方程（KPλ）至少有k+1个解:一个正基态解uλ和k个不同的正解uλ,i（i=1,2,…,k）,且当λ→0+时,正基态解uλ趋近于0而其余的k个正解在测度意义下具有下述收敛性:这里δai是ai处的Dirac测度,S是Sobolev嵌入D1,2（R3）→L6（R3）的最佳常数.4.研究如下具有奇异项的分数阶Schro|dinger-Poisson系统解的相关问题:其中λ>0,0<s≤t<1且4s+2t>3.（-△）s为分数阶Laplacian算子.在函数V（x）和f（x）满足一定的假设条件下,本文第五章证得弱奇性（0<γ<1）情形下系统（SPλ）的唯一正解uλ的存在性和单调性.第六章证得强奇性（γ>1）情形下系统（SPλ）的正解uλ存在且唯一的一个充分必要条件及解的单调性.此外,当λ→0+时,两种情形下的唯一解均会趋近于对应情形下的方程（SP0）的唯一正解.5.研究如下具有奇异项的分数阶Kirchhoff型方程解的相关问题:其中b>0,0<s<1.（-△）s为分数阶Laplacian算子.在函数V（x）和f（x）满足一定的假设条件下,本文第七章证得弱奇性（0<γ<1）情形下方程（Kb）的唯一正解ub的存在性;第八章证得强奇性（γ>1）情形下方程（Kb）的正解ub存在且唯一的一个充分必要条件.此外,当b→0+时,两种情形下的唯一解均会趋近于对应情形下的方程（K0）的唯一正解.
靳艳杰[6]（2020）在《求解双障碍问题的两种方法》文中认为本文给出了两种求解双障碍非线性互补问题的方法.第一种方法是直接对双障碍问题进行求解.首先,将双障碍互补问题转化为双障碍变分不等式.其次,在一些较弱的假设条件下,证明了双障碍变分不等式问题解的存在性及唯一性.然后,通过增加一个新构造的罚项定义了罚方程,证明了罚方程解的存在性及唯一性.最后,通过调节罚因子使得罚方程的解以指数收敛速率收敛到变分不等式问题的解.第二种方法是将双障碍问题改为单障碍问题求解.首先,将双障碍互补问题转化为单障碍变分不等式问题.然后,在较弱的条件下,得到单障碍变分不等式问题解的存在性及唯一性,利用现有的求解单障碍问题的罚方法求出单障碍变分不等式问题的近似解,进而求得双障碍互补问题的解.本文最后通过数值算例证明了两种方法的有效性和比较了它们的收敛速率.
张焕君[7]（2020）在《正倒向随机系统的混合最优控制问题及其在经济中的应用》文中进行了进一步梳理本文主要研究正倒向随机系统的混合最优控制问题及在经济中的应用.分别针对倒向随机混合控制系统的最优控制问题、由倒向随机微分方程驱动的非零和混合微分博弈问题、正倒向随机系统的混合最优控制问题及其在经济中的应用进行了深入研究.主要的学术贡献包括:首次给出由倒向随机混合控制系统驱动的最优控制问题存在唯一解的充分必要条件,给出了具有平均场形式的最优控制反馈表达且得到了最优状态满足一类平均场倒向随机微分方程,解释了最优控制和最优状态中出现平均场的主要原因;得到了纳什均衡开环策略存在唯一的必要条件以及Arrow充分条件,并基于解耦的Riccati方程以及微分方程得到正倒向随机混合控制系统存在唯一的反馈形式,并将结果应用到投资组合中.根据非线性数学期望与凸风险度量及倒向随机微分方程之间的关系,可将一类安全投资和网络保险问题等价转化为一类由正倒向随机混合控制系统驱动的最优控制问题来解决,得到了由正倒向随机微分方程驱动的混合最优控制问题存在唯一解的充分必要条件.针对非Lipschitz条件下的平均场倒向随机微分方程,结合皮卡尔迭代方法及Bihari不等式得到了其解的存在唯一性,此结果为研究由平均场倒向随机微分方程驱动的混合最优控制问题提供了理论基础.主要学术创新点包括:针对倒向随机混合控制系统,首次提出了受控系统中同时含有确定控制和随机控制的最优控制问题,对于线性二次情形,得到了最优控制的反馈形式且最优状态满足一类平均场倒向随机微分方程,并将结果应用到一类产品管理问题中.针对倒向随机混合系统的微分博弈问题,首次在Arrow充分最优的条件下得到了均衡点满足的必要条件和充分条件,借助于新引入辅助方程以及解耦方法,建立了系统状态与伴随过程之间的关系,进而得到均衡点与状态之间的关系,并将结果应用到房屋抵押以及财富管理问题中;首次将正倒向随机混合最优控制理论应用到一类安全投资和网络保险问题中.本文具体研究内容,研究成果以及创新点按章节顺序如下叙述:1.研究由倒向随机混合系统驱动的最优控制问题及在线性二次情形、产品管理问题中的应用.首先利用凸变分原理以及随机最大值原理,给出非线性情况下倒向随机混合最优控制满足的充分条件和必要条件.接下来,根据非线性的情况讨论线性二次情形,通过随机最大值原理得到一个候选最优控制,由充分条件可以验证其最优性.针对耦合问题,采用解耦方法可以得到反馈形式的最优控制.进一步得到,最优控制不仅仅依赖于状态方程还依赖于带有期望的状态,且最优状态满足平均场倒向随机微分方程.最后,通过分别讨论仅含随机控制的情形以及仅含确定控制的情形,可以得到最优状态中产生平均场的主要原因在于当状态方程中只含有确定控制时,其代价泛函中既含有随机控制又含有确定控制.进一步将这一结果应用到产品管理问题中.创新之处在于:相比前人结果,最优控制是由平均场倒向随机微分方程显示表达,且此平均场倒向随机微分方程自然产生于对不带有平均场的倒向随机微分方程驱动的混合最优控制问题的研究.2.研究由倒向随机微分方程驱动的随机非零和混合微分博弈问题.与仅含有随机控制策略情形相对比,利用凸变分方法,建立了倒向随机混合微分博弈问题的最大值原理.进一步通过验证Arrow条件得到均衡点满足的充分条件.通过一个数值例子说明Arrow条件中凸性的必要性.对于线性二次情形,由对偶原理得到一个非经典的正倒向随机微分方程,在一定条件下,通过引入两个新的方程组,得到了此正倒向随机微分方程解的存在唯一性.针对均衡点与状态之间的关系,利用解耦方法、Riccati方程以及微分方程的解,得到了均衡点与最优状态之间的关系.需要指出的是,所得结果为研究受政府策略影响的微分博弈问题,最优投资组合博弈问题以及时间不一致平均场控制系统博弈等问题奠定了基础.3.应用随机最优控制理论和凸函数的一些理论研究正倒向随机混合最优控制问题.对于部分耦合的受控正倒向随机混合系统,利用随机最大值原理以及通过引入两个新的伴随方程,给出了最优控制存在且唯一的必要条件和充分条件,并得到基于两个解耦Riccati方程以及五个微分方程的最优控制显式解.通过解耦方法以及先找状态与伴随之间的关系再去寻找伴随与状态之间的关系的方法,进一步得到了最优控制的反馈形式.创新性体现在此问题是受到金融市场中安全投资和网络保险问题的启发,首次研究了正倒向随机混合最优控制问题,并根据Peng的非线性数学期望、倒向随机微分方程解以及凸风险度量之间的关系,把一类安全投资和网络保险问题等价转化为正倒向随机混合系统的最优控制问题.这些结果完善和改进了随机混合控制理论.4.对于由倒向随机微分方程驱动的随机混合最优控制问题以及微分博弈问题,均会产生一类平均场倒向随机微分方程,受此启发研究平均场倒向随机微分方程解的存在唯一性问题.利用皮卡尔迭代以及伊藤公式推得状态方程序列的估计,进一步通过构造两列单调的函数列得到解的存在性.结合Bihari不等式推得方程解的唯一性.其创新点是在非Lipschitz条件下,得到平均场倒向随机微分方程解的存在唯一性,为研究非Lipschitz条件下正倒向随机混合最优控制问题奠定了理论基础.
孙兰超[8]（2020）在《带有临界指数的Kirchhoff型椭圆方程及一类脉冲方程弱解的存在性研究》文中进行了进一步梳理微分方程边值问题作为微分方程理论的重要组成部分,在物理学,生物学中得到了广泛的应用,一直是人们研究的一个热点问题.本文主要运用临界点理论知识讨论了临界情形下Kirchhoff型微分方程边值问题以及脉冲微分方程解的存在性.主要研究内容如下:首先,章节2分别讨论了两类微分方程边值问题的研究背景,本文的主要工作及相应结果.其次,章节3我们利用变分法及临界点理论讨论了四维空间上Kirchhoff型椭圆方程在临界情形下解的存在性.对于Kirchhoff型椭圆边值问题,在低维空间中以及次临界情形下的研究成果颇多,目前临界情形下关于其解的存在性的结果,所研究方程右端的非线性项系数都是常数.本章研究的方程非线性项的系数为自变量的函数,我们所讨论的问题在形式上较前人的工作更一般,是对相关研究结果的进一步丰富和推广.最后,章节4中利用变分法以及临界点理论分别讨论了一维空间中带有脉冲效应的-Laplacian算子微分方程边值问题解的存在性.利用上下解方法,单调迭代法,不动点理论以及拓扑度理论得到了很多关于脉冲微分方程解的存在性结果.但是,用变分法研究脉冲微分方程解的存在的文献却很少,本章所做工作是在前人已有的研究基础之上再做进一步的推广,丰富补充了已有结果.
陈杨军[9]（2020）在《一类含有参数的临界拟线性薛定谔方程解的存在性》文中进行了进一步梳理拟线性Schr（?）dinger方程源自等离子物理,是非线性分析领域近年来受到广泛关注的问题.本文主要利用变分方法了研究一类带有Sobolev临界指数的拟线性Schr（?）dinger方程解的存在性.首先,我们介绍了拟线性Schr（?）dinger方程的背景和近期的研究进展.其次,我们在2维情形研究了 一类含有参数的临界拟线性Schr（?）dinger方程-Δu+V（x）u-καΔ（|u|2α）|u|2α-2=f（u）,x∈R2,解的存在性,其中参数α ∈（1/2,1）,κ ∈ R为常数,V（x）是给定的位势函数,f在无穷远处临界增长.利用变量替换,结合Trudinger-Moser不等式和山路定理我们证明了该问题在适当条件下至少存在一个非平凡解.最后,我们在高维情形（维数N≥3）研究了如下临界拟线性Schr（?）dinger方程的半经典问题-ε2Δu+V（x）u-καε2Δ（|u|2α）|u|2α-2=|u|q-2u+|u|2*-2u正解的存在性,其中0<ε（?）1,κ∈R为常数,q ∈（2,2*）,2*=2N/N-2是Sobolev临界指数.在α∈（0,1/2）的情形,利用变量替换和截断方法,我们证明了正解的存在性.
甄茂鼎[10]（2020）在《几类非局部耦合系统基态解的存在性和分类》文中研究表明非局部方程（组）解的存在性以及解的分类一直是偏微分方程领域的一个重要模块。从2007年Caffarelli和Silvestre[1]中通过延拓方法把非局部问题转化为高一维的局部问题之后,分数阶方程（组）解的存在性有了大量的研究。研究分数阶方程解的存在性主要方法有变分法和有限维无限维约化方法。本论文主要采用变分法,通过山路引理、Ekeland’s变分原理、隐函数定理、Vatali’s定理以及转化为代数方程组的方法,研究临界耦合系统、临界和次临界耦合系统、带有变号势函数耦合系统以及次临界耦合系统基态解的存在性和不同Moser指标的基态解的分类。本文一共分为七章,前两章介绍了研究背景,研究现状以及一些预备知识,在第三章到第六章中,我们给出上面四个方面内容的证明细节。首先,我们给出了全空间上临界耦合系统解的存在性。如果（?）是系统的解,那么（k,l）必然满足一个代数方程组。基于上面观察,我们把问题转化为代数方程组解的存在性问题,通过研究代数方程组解的存在性得到了在不同条件下基态解的存在性。在处理有界域上临界耦合系统时,我们先证明系统具有山路结构,由山路引理得到Palais-Smale序列的存在性。为了证明Palais-Smale序列的强收敛性,我们先证明Palais-Smale序列的有界性,由Sobolev嵌入定理得到Palais-Smale序列的弱收敛性,利用Brezis-Lieb引理和能量比较得到了 Palais-Smale序列的强收敛性。其次,我们考虑了全空间上临界次临界耦合系统。因为对任意的p≥ 1,Hs（RN）空间嵌入到LP（RN）空间都不是紧嵌入,因此为了克服紧性缺失问题,我们在对称空间上处理,利用对称临界原理得到了原空间的基态解的存在性。在对称空间上我们使用变分法、山路引理、Sobolev嵌入定理、Vatali’s定理以及能量比较的方法,得到了临界和次临界耦合系统基态解的存在性,即我们证明存在一个μ0∈（0,1）,使得当0<μ≤μ0,系统有一个正的基态解。当μ>μ0,存在一个λμ,（?）),使得如果λ>λμ,v,系统有一个正的基态解,如果λ<λμ,v,系统没有基态解。再次,我们考虑了带有变号势函数的耦合系统,通过Nehari流形分解、Ekeland’s变分原理、隐函数定理和泰勒展开,证明了 Palais-Smale序列的存在性,进一步我们证明Palais-Smale序列的收敛性。当参数对（λ,μ）属于R2的特定子集时,我们得到了系统存在至少两个正解。最后,我们考虑了次临界耦合系统基态解的存在性和分类。当α,β,γ,μ1,μ2取适当的条件下,我们给出了带有不同Moser指标的基态解的完全分类,证明了如果（u0,v0）是任意正的基态解,那么在适当的条件下（?）并且带有不同Moser指标。最后,我们给出了有限维和无限维约化的证明思路,并提出了一些可能通过有限维和无限维约化的方法考虑的问题。
二、变分不等方程解的存在性（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、变分不等方程解的存在性（论文提纲范文）
（1）Ky Fan不等式及其相关问题解的存在性与稳定性研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.2.1 Ky Fan不等式及相关问题的研究现状 |
| 1.2.2 本质集与本质连通区的研究现状 |
| 1.2.3 随机控制问题的研究现状 |
| 1.3 研究内容与创新点 |
| 1.3.1 主要研究内容 |
| 1.3.2 论文主要创新点 |
| 1.4 论文章节安排 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 Hausdorff距离的概念及一些相关结论 |
| 2.2 集值映射的连续性及相关性质 |
| 2.3 向量值函数的连续性与凸性 |
| 2.4 随机分析的一些概念与结论 |
| 第三章 Ky Fan不等式相关问题解集的强稳定性及其应用 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 Ky Fan截口问题解集的强本质连通区的存在性 |
| 3.2.1 Ky Fan截口问题模型 |
| 3.2.2 Ky Fan截口问题解集的强稳定性 |
| 3.3 Ky Fan点集的强本质连通区 |
| 3.3.1 Ky Fan不等式问题模型 |
| 3.3.2 Ky Fan点的强本质连通区的存在性 |
| 3.4 应用Ⅰ:n人非合作博弈Nash平衡点集的强稳定性 |
| 3.5 向量值Ky Fan点集的强本质连通区 |
| 3.5.1 向量值Ky Fan点问题模型 |
| 3.5.2 向量值Ky Fan点强本质连通区的存在性 |
| 3.6 应用Ⅱ:多目标博弈弱Pareto-Nash平衡点集的强稳定性 |
| 第四章 向量值拟变分不等式问题解集的通有稳定性 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 向量值拟变分不等式问题模型 |
| 4.3 向量值拟变分不等式问题解集的通有稳定性 |
| 第五章 随机控制问题解的存在性与通有稳定性 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 假设与预备知识 |
| 5.3 一类适应可测随机过程空间中的紧性准则 |
| 5.4 随机微分方程的解对参数的连续依赖性 |
| 5.5 随机最优控制问题解的存在性 |
| 5.6 随机最优控制问题的解集的通有稳定性 |
| 5.7 本章小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间科研和论文情况 |
（2）指数非线性问题的爆破分析与紧性研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| Abstract |
| 主要符号对照表 |
| 第1章 引言 |
| 1.1 选题背景和意义 |
| 1.2 研究现状 |
| 1.2.1 最佳Trudinger–Moser不等式及其预定曲率方程 |
| 1.2.2 Trudinger–Moser不等式的集中紧性原理及其应用 |
| 1.3 本文的研究问题及主要结果 |
| 1.3.1 改进的Trudinger–Moser不等式及其极值函数问题 |
| 1.3.2 刘维尔方程的爆破分析及其预定曲率问题 |
| 1.3.3 含奇异项与指数非线性项的集中紧性问题 |
| 1.3.4 含奇异项与指数非线性项的拟线性椭圆方程问题 |
| 1.4 本文的结构安排及主要创新点 |
| 第2章 改进的Trudinger–Moser不等式 |
| 2.1 问题介绍与主要结果 |
| 2.2 预备引理 |
| 2.3 次临界情形的极大值函数 |
| 2.4 临界情形的极大值函数 |
| 2.4.1 爆破分析 |
| 2.4.2 上界估计 |
| 2.5 主要定理的证明 |
| 第3章 带边黎曼面上的预定曲率问题 |
| 3.1 问题介绍与主要结果 |
| 3.2 预备引理 |
| 3.3 下界及解存在的充分条件 |
| 第4章 各项异性Trudinger–Moser不等式的集中紧性原理 |
| 4.1 问题介绍与主要结果 |
| 4.2 预备引理 |
| 4.3 有界区域中Lions型集中紧性原理 |
| 4.4 全空间R~N中Lions型集中紧性原理 |
| 第5章 全空间中带指数非线性项与奇异项的薛定谔方程 |
| 5.1 问题介绍与主要结果 |
| 5.2 预备引理 |
| 5.3 泛函与紧性分析 |
| 5.4 基态解的存在性 |
| 5.5 扰动问题的非平凡解 |
| 5.6 扰动问题解的多重性 |
| 第6章 黎曼流形上的Trudinger–Moser不等式及其应用 |
| 6.1 问题介绍与主要结果 |
| 6.2 预备引理 |
| 6.3 黎曼流形上Trudinger–Moser不等式的集中紧性原理 |
| 6.4 集中紧性原理的应用 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 个人简历、在学期间完成的学术论文与研究成果 |
（3）L2临界的非局部Schr?dinger方程解的性质研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 L~2临界问题 |
| 1.1.1 背景介绍与研究现状 |
| 1.1.2 研究问题及主要结论 |
| 1.2 几乎L~2临界的Hartree方程 |
| 1.2.1 研究问题及主要结论 |
| 1.3 结构安排 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 本文记号 |
| 2.2 Fourier变换与几个重要不等式 |
| 2.3 线性算子的正则性与衰减性 |
| 第三章 基态质量爆破解的研究 |
| 3.1 问题介绍 |
| 3.2 二维情形 |
| 3.2.1 构造渐近爆破解 |
| 3.2.2 模估计 |
| 3.2.2.1 几何分解与模方程估计 |
| 3.2.2.2 局部化能量的凸估计 |
| 3.2.2.3 模估计 |
| 3.2.3 修正能量的估计 |
| 3.2.4 小区间上的反向传播估计 |
| 3.2.5 基态质量爆破解的存在性 |
| 3.3 小结 |
| 3.4 三维的情形 |
| 3.4.1 构造渐近爆破解 |
| 3.4.2 模估计与能量估计 |
| 3.5 小结 |
| 第四章 L~2-临界半波方程的行波解 |
| 4.1 问题介绍与主要结果 |
| 4.2 预备知识 |
| 4.3 行波解的存在性以及稳定性 |
| 4.4 小结 |
| 第五章 几乎L~2临界的Hartree型方程的解的集中行为 |
| 5.1 问题介绍与主要结论 |
| 5.2 定理5.1的证明 |
| 5.3 能量估计 |
| 5.4 集中现象和对称爆破 |
| 5.5 小结 |
| 研究展望 |
| 参考文献 |
| 在学期间的研究成果 |
| 致谢 |
（4）几类含临界指标的非线性偏微分方程解的存在性与多解性（论文提纲范文）
| 内容摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 问题的背景及研究现状 |
| 1.2 定义和记号 |
| 1.3 预备知识 |
| 1.4 本文的主要结果 |
| 1.5 结构安排 |
| 第二章 含Kirchhoff算子的Choquard方程束缚态解的存在性 |
| 2.1 问题的提出及主要结果 |
| 2.2 准备工作与定理2.1.1的证明 |
| 2.3 全局紧性结果 |
| 2.4 定理2.1.3的证明 |
| 第三章 奇异扰动的分数Choquard方程解的存在性与多解性 |
| 3.1 问题的提出及主要结果 |
| 3.2 一些记号和预备知识 |
| 3.3 极限问题 |
| 3.4 分数Sobolev空间中的一个全局紧性引理 |
| 3.5 束缚态解的存在性与多解性 |
| 第四章 含临界增长的分数Schr(?)dinger方程的多重高能解 |
| 4.1 问题的提出及主要结果 |
| 4.2 变分框架和非存在性结果 |
| 4.3 主要的技巧和一些基本的估计 |
| 4.4 定理4.1.1的证明 |
| 第五章 含消失位势的临界p-Laplacian方程正解的存在性 |
| 5.1 问题的提出及主要结果 |
| 5.2 预备知识 |
| 5.3 正解的存在性与多重性 |
| 参考文献 |
| 攻读学位期间已完成的学术论文 |
| 致谢 |
（5）R3上奇异椭圆方程解的存在性及渐近性（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 绪论 |
| 0.1 问题的背景及研究现状 |
| 0.2 假设条件、解空间及主要内容 |
| 0.3 符号说明及预备知识 |
| 第1章 弱奇异Choquard方程解的唯一性及渐近性 |
| 1.1 引言及主要结论 |
| 1.2 准备工作 |
| 1.3 解的唯一性 |
| 1.4 λ→λ0~+时解的渐近性 |
| 第2章 弱奇异Choquard方程的多解性及渐近性 |
| 2.1 引言及主要结论 |
| 2.2 准备工作 |
| 2.3 多解性 |
| 2.4 λ→0~+时解的渐近性 |
| 第3章 具有临界指数的弱奇异Choquard方程的多解性及渐近性 |
| 3.1 引言及主要结论 |
| 3.2 准备工作 |
| 3.3 基态解的存在性及渐近性 |
| 3.4 第二个正解的存在性及渐近性 |
| 第4章 具有临界指数的弱奇异椭圆方程k+1个解的存在性及渐近性 |
| 4.1 引言及主要结论 |
| 4.2 准备工作 |
| 4.3 基态解的存在性及渐近性 |
| 4.4 k个正解的存在性及渐近性 |
| 第5章 弱奇异分数阶Schrodinger-Poisson系统解的唯一性及渐近性 |
| 5.1 引言及主要结论 |
| 5.2 准备工作 |
| 5.3 解的唯一性和单调性 |
| 5.4 λ→0~+时解的渐近性 |
| 第6章 强奇异分数阶Schrodinger-Poisson系统解的唯一性及渐近性 |
| 6.1 引言及主要结论 |
| 6.2 解的唯一性和单调性 |
| 6.3 λ→0~+时解的渐近性 |
| 第7章 弱奇异分数阶Kirchhoff型方程解的唯一性及渐近性 |
| 7.1 引言及主要结论 |
| 7.2 准备工作 |
| 7.3 解的唯一性 |
| 7.4 b→0~+时解的渐近性 |
| 第8章 强奇异分数阶Kirchhoff型方程解的唯一性及渐近性 |
| 8.1 引言及主要结论 |
| 8.2 解的唯一性 |
| 8.3 b→0~+时解的渐近性 |
| 第9章 总结 |
| 参考文献 |
| 攻读学位期间承担的科研任务与主要成果 |
| 致谢 |
| 个人简历 |
（6）求解双障碍问题的两种方法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 引言 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 基本概念和预备知识 |
| 第二章 双障碍问题的罚逼近 |
| 2.1 问题框架 |
| 2.2 双障碍问题解的存在性 |
| 2.3 罚逼近法及收敛性分析 |
| 第三章 将双障碍问题转化为单障碍问题求解 |
| 第四章 数值实验 |
| 结论与问题展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
（7）正倒向随机系统的混合最优控制问题及其在经济中的应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 主要符号说明 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 课题背景和意义 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.2.1 投资组合问题 |
| 1.2.2 倒向随机系统最优控制及微分博弈问题 |
| 1.2.3 正倒向随机系统最优控制问题 |
| 1.2.4 本文的主要工作 |
| 1.2.5 本文的研究思路 |
| 第二章 倒向随机系统的混合最优控制问题及在线性二次中的应用 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 问题描述 |
| 2.3 问题(C)的最优控制 |
| 2.4 问题(C)的线性二次情形 |
| 2.5 问题(MLQ)的两种特殊情形 |
| 2.5.1 随机情形:B_(1t)=0 |
| 2.5.2 确定情形:B_(2t)=0 |
| 2.6 一类产品管理问题 |
| 2.7 本章小结 |
| 第三章 倒向随机微分方程驱动的非零和混合微分博弈问题 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 问题描述 |
| 3.3 混合均衡点的必要条件和充分条件 |
| 3.3.1 必要条件 |
| 3.3.2 充分条件 |
| 3.4 问题(BNZM)的线性二次情形 |
| 3.5 一类房屋抵押和财富管理问题 |
| 3.6 本章小结 |
| 第四章 正倒向随机系统的混合最优控制问题 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 问题描述 |
| 4.3 问题(FBM)的最优控制 |
| 4.3.1 最优性条件 |
| 4.3.2 验证定理 |
| 4.4 问题(FBM)的线性二次情形 |
| 4.5 安全投资和网络保险问题 |
| 4.6 本章小结 |
| 第五章 非Lipschitz条件下的平均场倒向随机微分方程 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 问题描述 |
| 5.3 平均场倒向随机微分方程解的估计 |
| 5.4 主要结果 |
| 5.5 本章小结 |
| 第六章 结论与展望 |
| 6.1 结论 |
| 6.2 展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间发表的论文及参与的科研项目 |
| 学位论文评阅及答辩情况表 |
（8）带有临界指数的Kirchhoff型椭圆方程及一类脉冲方程弱解的存在性研究（论文提纲范文）
| 致谢 |
| 摘要 |
| abstract |
| 变量注释表 |
| 1 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 古典变分法 |
| 1.3 近代变分法 |
| 2 研究问题与主要结果 |
| 2.1 临界情形下Kirchhoff型椭圆方程 |
| 2.2 脉冲微分方程 |
| 3 临界情形下Kirchhoff型椭圆方程解的存在性 |
| 3.1 四维空间中Kirchhoff型椭圆方程临界情形下解的存在性 |
| 3.2 预备知识 |
| 3.3 主要结果证明 |
| 3.4 本章小结 |
| 4 带有脉冲效应的-Laplacian方程解的存在性 |
| 4.1 带有脉冲效应的-Laplacian方程解的存在性 |
| 4.2 预备知识 |
| 4.3 主要结果及证明 |
| 4.4 本章小结 |
| 5 总结与展望 |
| 5.1 总结 |
| 5.2 展望 |
| 参考文献 |
| 作者简历 |
| 学位论文数据集 |
（9）一类含有参数的临界拟线性薛定谔方程解的存在性（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 引言及主要结果 |
| 1.1 引言 |
| 1.2 预备知识 |
| 1.3 主要记号 |
| 第2章 2维情形下一类拟线性Schr(?)dinger方程解的存在性 |
| 2.1 等价问题和预备知识 |
| 2.2 山路几何结构 |
| 2.3 存在性的证明 |
| 第3章 高维情形下拟线性Schr(?)dinger方程解的存在性 |
| 3.1 问题与相关引理 |
| 3.2 (PS)条件 |
| 3.3 主要定理的证明 |
| 参考文献 |
| 攻读学位期间发表的学术论文和研究成果 |
| 致谢 |
（10）几类非局部耦合系统基态解的存在性和分类（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 研究内容与研究安排 |
| 2 预备知识与引理 |
| 2.1 Sobolev空间与嵌入定理 |
| 2.2 Palais-Smale条件,山路引理 |
| 2.3 Ekeland's变分原理,Vitali's定理 |
| 3 分数阶临界耦合系统解的存在性 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 主要定理 |
| 3.3 一些预备引理 |
| 3.4 定理3.1的证明 |
| 3.5 定理3.2的证明 |
| 3.6 定理3.3的证明 |
| 3.7 定理3.4的证明 |
| 3.8 本章小结 |
| 4 临界和次临界分数阶耦合方程基态解的存在性 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 主要定理 |
| 4.3 一些预备引理 |
| 4.4 定理4.1的证明 |
| 4.5 本章小结 |
| 5 带有变号势函数的次临界耦合分数阶方程组正解的存在性 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 主要定理结论 |
| 5.3 一些预备知识 |
| 5.4 Nehari流形分解 |
| 5.5 Palais-Smale序列的存在性 |
| 5.6 局部极小存在性 |
| 5.7 定理5.1和定理5.2的证明 |
| 5.8 本章小结 |
| 6 不同Moser指标的耦合系统基态解的分类 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 主要定理 |
| 6.3 一些预备引理 |
| 6.4 定理6.4的证明 |
| 6.5 定理6.5-定理6.7的证明 |
| 6.6 定理6.8的证明 |
| 6.7 本章小结 |
| 7 总结与展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 附录1 攻读学位期间发表论文目录 |
| 附录2 攻读博士学位期间参与的科研项目 |
四、变分不等方程解的存在性（论文参考文献）
- [1]Ky Fan不等式及其相关问题解的存在性与稳定性研究[D]. 张德金. 贵州大学, 2021(11)
- [2]指数非线性问题的爆破分析与紧性研究[D]. 柳彦军. 南开大学, 2021(02)
- [3]L2临界的非局部Schr?dinger方程解的性质研究[D]. 李渊. 兰州大学, 2021(10)
- [4]几类含临界指标的非线性偏微分方程解的存在性与多解性[D]. 李奇. 华中师范大学, 2021(02)
- [5]R3上奇异椭圆方程解的存在性及渐近性[D]. 余胜斌. 福建师范大学, 2020(12)
- [6]求解双障碍问题的两种方法[D]. 靳艳杰. 苏州大学, 2020(02)
- [7]正倒向随机系统的混合最优控制问题及其在经济中的应用[D]. 张焕君. 山东大学, 2020(01)
- [8]带有临界指数的Kirchhoff型椭圆方程及一类脉冲方程弱解的存在性研究[D]. 孙兰超. 中国矿业大学, 2020(01)
- [9]一类含有参数的临界拟线性薛定谔方程解的存在性[D]. 陈杨军. 云南师范大学, 2020(01)
- [10]几类非局部耦合系统基态解的存在性和分类[D]. 甄茂鼎. 华中科技大学, 2020(01)